คณิตศาสตร์

คู่อันดับ (Order Pair) เป็นการจับคู่สิ่งของโดยถือลำดับเป็นสำคัญ เช่น คู่ อันดับ a, b จะเขียนแทนด้วย (a, b) เรียก a ว่าเป็นสมาชิกตัวหน้า และเรียก b ว่าเป็นสมาชิกตัวหลัง

(การเท่ากับของคู่อันดับ) (a, b) = (c, d) ก็ต่อเมื่อ a = c และ b = d

ผลคูณคาร์ทีเชียน (Cartesian Product) ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และเซต B คือ เซตของคู่อันดับ (a, b) ทั้งหมด โดยที่ a เป็นสมาชิกของเซต A และ b เป็นสมาชิกของเซต B

สัญลักษณ์      ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และเซต B เขียนแทนด้วย A x B
หรือ เขียนในรูปเซตแบบบอกเงื่อนไขจะได้ว่า 

ความสัมพันธ์ (Relation)r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ r เป็นสับเซตของ A x B

โดเมน (Domain) และ เรนจ์ (พิสัย) (Range)

1. โดเมน (Domain) ของความสัมพันธ์ r คือ เซตที่มีสมาชิกตัวหน้าของทุกคู่อันดับในความสัมพันธ์ r ใช้สัญลักษณ์แทนด้วย D_r ดังนั้น  D_r = {x | (x, y) ε r}
2.  เรนจ์ (Range) ของความสัมพันธ์ r คือ เซตที่มีสมาชิกตัวหลังของทุกคู่อันดับในความสัมพันธ์ r ใช้สัญลักษณ์แทนด้วย R _rดังนั้น  R_r = {y | (x, y) ε r}

สัญลักษณ์         อินเวอร์สของความสัมพันธ์ r เขียนแทนด้วย r^-1
เขียน r^-1 ในรูปเซตแบบบอกเงื่อนไขได้ดังนี้  r^-1 = {(x, y) | (y, x) ε r}
ถ้า r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B แล้ว r^-1 จะเป็นความสัมพันธ์จาก B ไป A

ฟังก์ชัน (Function)  คือ  ความสัมพันธ์  ซึ่งในสองคู่อันดับใด ๆ ของความสัมพันธ์นั้น  ถ้ามีสมาชิกตัวหน้าเท่ากันแล้ว  สมาชิกตัวหลังต้องไม่แตกต่างกัน
หรือฟังก์ชัน  คือ  ความสัมพันธ์  ซึ่งในสองคู่อันดับใด ๆ ของความสัมพันธ์นั้น  ถ้าสมาชิกตัวหน้าเท่ากัน  สมาชิกตัวหลังต้องเท่ากันด้วย

นั่นคือ   ความสัมพันธ์ f จะเป็นฟังก์ชัน ก็ต่อเมื่อ ถ้า (x, y₁) ε f และ (x, y₂) ε f แล้ว  y₁ = y₂

ถ้าหากว่าความสัมพันธ์ที่กำหนดให้อยู่ในรูปแบบบอกเงื่อนไข  การตรวจสอบว่าความสัมพันธ์นั้นเป็นฟังก์ชันหรือไม่สามารถทำได้กลายวิธี  ดังต่อไปนี้

วิธีที่  1      ถ้า  r  เป็นความสัมพันธ์ซึ่งประกอบด้วยคู่อันดับ  (x, y)  และมีเงื่อนไข  r(x, y)  แล้ว  ให้นำเงื่อนไข  r(x, y)  มาเขียนใหม่โดยเขียน y ในรูปของ x และพิจารณาดังนี้
1)  ถ้าแต่ละค่าของ x หาค่า y ได้เพียงค่าเดียว  สรุปว่า r เป็นฟังก์ชัน
2)  ถ้ามีบางค่าของ x ที่ทำให้หาค่า y ได้มากกว่าหนึ่งค่า  สรุปว่า r ไม่เป็นฟังก์ชัน

วิธีที่  2      เมื่อกำหนดความสัมพันธ์ r ซึ่งประกอบด้วยคู่อันดับ (x, y) และมีเงื่อนไข  r(x, y)
สมมติให้ (x, y) ε r และ (x, z) ε r  ดังนั้นจะได้เงื่อนไข  r(x, y)  และ  r(x, z) พิจารณา
1)  ถ้าสามารถแสดงได้ว่า  y = z จะได้ว่า r เป็นฟังก์ชัน
2)  ถ้ากรณีที่มี  y ε z  จะได้ว่า  r  ไม่เป็นฟังก์ชัน

วิธีที่  3       โดยใช้กราฟ
กำหนดกราฟความสัมพันธ์ r ให้ลากเส้นตรงที่ขนานกับแกน Y และให้ตัดกราฟของความสัมพันธ์ rพิจารณา
1)  ถ้าเส้นตรงแต่ละเส้นตัดกราฟของ r ได้เพียงจุดเดียวเท่านั้น จะได้ว่า r เป็นฟังก์ชัน
2)  ถ้ามีเส้นตรงบางเส้นตัดกราฟของ r มากกว่าหนึ่งจุด  จะได้ว่า r จะไม่เป็นฟังก์ชัน

กำหนดให้ f เป็นฟังก์ชัน เรามีข้อตกลงเกี่ยวกับการเขียนสัญลักษณ์ ดังนี้

(x, y) ε R  จะเขียนแทนด้วย y = f(x)

เรียก f(x) ว่าค่าของฟังก์ชัน f  ที่ x หรือเรียกว่าภาพฉาย (image) ของ x ภายใต้ฟังก์ชัน f

อ่าน f(x) ว่า เอฟของเอ็กซ์ หรือ เอฟที่เอ็กซ์ หรือเรียกสั้นๆ ว่า เอฟเอ็กซ์

เราจะพบการใช้สัญลักษณ์เกี่ยวกับฟังก์ชันอยู่ 2 ลักษณะที่สำคัญคือ การเขียน f และ f(x) ซึ่งมีความแตกต่างและการนำไปใช้ดังนี้

1)      การเขียน f จะเป็นการกำหนดชื่อฟังก์ชัน (คล้ายการกำหนดชื่อเซต) เช่น กำหนดให้ f เป็นฟังก์ชัน เป็นต้น การเขียน f จะเขียนในรูปเซตแบบแจกแจงสมาชิก หรือว่าเซตแบบบอกเงื่อนไขก็ได้ เช่น          f = {(2, 5), (3, 7), (4, 9)}           หรือ     f = {(x, y) | y = 2x + 1}          เป็นต้น

2)      การเขียน f(x) จะเป็นการนิยามฟังก์ชัน f ว่ามีเงื่อนไข หรือลักษณะอย่างไร กำหนดให้เป็นอย่างไร มักเขียนในรูปนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ (ประโยคสัญลักษณ์) แสดงความสัมพันธ์ตั้งแต่ 2 ตัวแปรขึ้นไป และมักเขียนในรูปสมการ เช่น f(x) = 2x + 1 หรือบางครั้งอาจเขียน y = 2x + 1 ให้เข้ใจว่า การนิยามฟังก์ชัน f จะเขียนให้อยู่ในรูป y = f(x)

ดังนั้น นักรเยนจะพบเสมอว่า ในโจทย์ปัญหาเกี่ยวกับฟังก์ชันโดยทั่วไป มักจะขึ้นต้นในทำนองว่า “กำหนดให้ f เป็นฟังก์ชันซึ่งนิยามว่า f(x) = …”  เป็นต้น

ดังนี้แล้ว พึงระลึกถึงและนำไปใช้ให้ถูกต้องด้วยความเคร่งครัดและระมัดระวัง

พีชคณิตของฟังก์ชัน หรือ การดำเนินการของฟังก์ชัน (Algebric Function or Operation of Function)

ฟังก์ชันประกอบ หรือ ฟังก์ชันคอมโพสิต (Composite Function)

ตัวผกผันของฟังก์ชัน หรือ ฟังก์ชันอินเวอร์ส (Inverse of Function)

ฟังก์ชันจากเซตหนึ่งไปยังอีกเซตหนึ่ง

กำหนดให้ A และ B เป็นเซต
f จะเป็นฟังก์ชันจาก A ไป B (function from A to B) ก็ต่อเมื่อ
1)    f เป็นฟังก์ชัน
2)    D_f = A
3)    R_f  ε B

สัญลักษณ์      f  เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B จะเขียนแทนด้วย f : A → B  อ่านว่า f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B

ฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B

f จะเป็นฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B (function from A onto B) ก็เต่อเมื่อ
1)    f เป็นฟังก์ชัน
2)    D_f = A
3)    R_f = B

ฟังก์ชันเชิงเส้น   คือ ฟังก์ชันที่อยู่ในรูป y = ax+b เมื่อ a ,b เป็นจำนวนจริง และ  กราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นจะเป็นเส้นตรง

           ตัวอย่างของฟังก์ชันเชิงเส้น   ได้แก่

           1)   y = x                                                                                    

           2)   y =2x +1                                                                                 

            3)   y = -3x                                                                                

           ฟังก์ชัน  y  =  ax + b  เมื่อ    a  =  0  จะได้ฟังก์ชันที่อยู่ในรูป  y  =  b  ซึ่งมีชื่อเรียกว่า  ฟังก์ชันคงตัว  (constant  function)  กราฟของฟังก์ชันคงตัวจะเป็นเส้นตรงที่ขนานกับแกน  X  ตัวอย่างของฟังก์ชันคงตัว  ได้แก่

                                           

                                                  

ตัวอย่าง  1         จงเขียนกราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นต่อไปนี้บนระนาบเดียวกัน

               

วิธีทำ             

                                                           

                      จากกราฟข้างต้นจะเห็นว่า  เมื่อสัมประสิทธิ์ของ  x  หรือ  a  มีค่ามากขึ้น  กราฟจะเบนเข้าหาแกน  Y

                   

                                                               

                        จากกราฟข้างต้นจะเห็นว่า  เมื่อสัมประสิทธิ์ของ  x  หรือ  a  มีค่าน้อยขึ้น  กราฟจะเบนเข้าหาแกน  X

                  

                                                                 

                         จากกราฟข้างต้นจะเห็นว่า กราฟของ  มีแกน  Y  และ  แกน  X  เป็นแกนสมมาตร

ตัวอย่าง  2            จงเขียนกราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นต่อไปนี้บนระนาบเดียวกัน

           

วิธีทำ      

                                                                  

           จากรูป   จะเห็นว่า   กราฟของ  y  =  x + c  เมื่อ  c =0,1,2,4   ตัดแกน  Y  ที่ y =0,2,4 หรือที่จุด  (0,0), (0,2)  และ  (0,4)  และตัดแกน  X  ที่ 0, -2, -4 หรือที่จุด  (0,0), (-2,0)  และ  (-4,0)

             

                                                                                

                                           

                 จากรูปจะเห็นว่ากราฟของ  y  =  x + c  เมื่อ  c = 0, -1, -3 จะตัดแกน  Y  ที่ y = 0,-1และ -3   หรือที่จุด  (0,0),  (0,-1)  และ  (0,-3)  และตัดแกน X  ที่ x = 0, 1, 3 หรือที่จุด  (0,0),(1,0)  และ  (3,0)

ตัวอย่าง  3  จงเขียนกราฟของฟังก์ชันที่กำหนดให้ต่อไปนี้  พร้อมทั้งหาจุดที่กราฟตัดแกน  X

                      1)  y  =  x + 3

                      2)  y  =  7 - x

วิธีทำ              1)  y  =  x + 3

                                                                 

                                            จุดที่กราฟตัดแกน  X  คือจุดที่  y  มีค่าเท่ากับศูนย์  จากรูป  จุดที่กราฟตัดแกน  X  คือจุด  (-3,0)

                         2)  y  =  7 - x

                                                                      

                                            จุดที่กราฟตัดแกน  X  คือจุดที่  y  มีค่าเท่ากับศูนย์  จากรูป  จุดที่กราฟตัดแกน  X  คือจุด  (7,0)

ตัวอย่าง  4               จงเขียนกราฟของ  y  =  2x + 9  และหาว่า  จุด  (-1,6)  อยู่บนกราฟของ y หรือไม่

วิธีทำ         จาก  y  =  2x + 9  หาจุดที่กราฟตัดแกน  X  และ  Y  และเขียนกราฟของ  Y  ได้ดังนี้

                                    

หาว่าจุด  (-1,6)  อยู่บนกราฟหรือไม่  ได้ดังนี้

จาก  y  =  2x + 9

หาค่า  y  เมื่อ  x = -1

จะได้  y  =  2(-1) + 9 = 7

นั่นคือ  เมื่อ  x = -1  จะได้  y  =  7

แสดงว่า  จุด  (-1,7)  อยู่บนกราฟของ  y  แต่จุด  (-1,6)  ไม่อยู่บนกราฟของ  y

ตัวอย่าง  5      พนักงานขายผู้หนึ่งได้รับเงินเดือนจากบริษัทเดือนละ  12,000  บาท  และได้รับเงินอีก 5%  ของยอดขายสินค้าที่เขาขายได้

           1)  จงเขียนความสัมพันธ์ของรายได้ของพนักงานผู้นี้กับยอดขายสินค้าพร้อมทั้งเขียนกราฟของความสัมพันธ์ดังกล่าว

           2)  จงหาว่าในเดือนที่เขามียอดขาย  25,000  บาท  เขาจะได้รับเงินเดือนนั้นเท่าใด

วิธีทำ

           1)  ให้  s  แทนยอดขายสินค้า

                       f(s)  แทนจำนวนเงินที่ได้รับจากบริษัท

           จะได้  f(s)  =  12,000  +  (0.05)s

                              

            2)  ถ้ายอดขายของพนักงานผู้นี้เท่ากับ  25,000  บาท  เขาจะได้รับเงินเท่ากับ 

                   f(25,000)  =  12,000  +  (0.05)25,000

                                       =  13,250  บาท

หมายเหตุ      เราสามารถใช้กราฟหาค่าประมาณของฟังก์ชันได้  เช่น  จากตัวอย่างที่กล่าวมาถ้าลากเส้นกราฟต่อให้ยาวขึ้น  เราสามารถประมาณจำนวนเงินที่พนักงานขายจะได้รับเมื่อเขามียอดขายเท่ากับ  80,000  บาท  ได้ดังนี้

                                                         

ตัวอย่าง  6             เมื่อจุดเยือกแข็งของน้ำเท่ากับ หรือ   และจุดเดือดของน้ำเท่ากับ  หรือ  จงเขียนความสัมพันธ์ของ                             อุณหภูมิที่เป็นองศาเซลเซียส  และองศาฟาเรนไฮต์  ในรูปของฟังก์ชันเชิงเส้น  y  =  ax + b  โดย

           1)  เขียนแสดงอุณหภูมิที่เป็นองศาฟาเรนไฮต์ให้อยู่ในรูปองศาเซลเซียส

           2)   เขียนแสดงอุณหภูมิที่เป็นองศาเซลเซียสให้อยู่ในรูปองศาฟาเรนไฮต์

           3)  ถ้าอุณหภูมิของน้ำวัด     จะเท่ากับกี่องศาเซลเซียส

           4)  ถ้าอุณหภูมิของน้ำวัดได้   จะเท่ากับกี่องศาฟาเรนไฮต์

           5)  เขียนกราฟแทนความสัมพันธ์ในข้อ  1)

วิธีทำ

           1)  ให้  C  แทนอุณหภูมิที่มีหน่วยเป็นองศาเซลเซียส

                       F  แทนอุณหภูมิที่มีหน่วยเป็นองศาฟาเรนไฮต์

                       F  =  aC + b  เมื่อ  a  และ  b เป็นค่าคงตัว

           หาค่าของ  a  และ  b  ได้ดังนี้

           ให้          C  =  0            และ  F  =  32

           จะได้     32  =  0a + b   และ  b  =  32

           ให้         C  =  100         และ  F  =  212  เมื่อ  b  =  32

           จะได้     212  =  100a  +  32

                   

        

 

                                    

ฟังก์ชันกำลังสอง

      กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง

           ฟังก์ชันกำลังสอง  คือ  ฟังก์ชันที่อยู่ในรูป  เมื่อ  a,b,c  เป็นจำนวนจริงใดๆ  และ ลักษณะของกราฟของฟังก์ชันนี้ขึ้นอยู่กับค่าของ  a , b  และ  c  และเมื่อค่าของ  a  เป็นบวกหรือลบ  จะทำให้ได้กราฟเป็นเส้นโค้งหงายหรือคว่ำ 

ดังรูป

                                

                                             จากรูปจะเห็นว่า  ถ้า  a > 0  กราฟเป็นเส้นโค้งหงายขึ้น

                                                                                   a < 0  กราฟเป็นเส้นโค้งคว่ำลง

                                            กราฟของฟังก์ชันกำลังสองในรูปนี้มีชื่อว่า  พาราโบลา

ตัวอย่าง  1              จงเขียนกราฟของฟังก์ชันกำลังสองต่อไปนี้

วิธีทำ

       1)  2)    3)

    4)     5)    6)

ตัวอย่าง  2                จงเขียนกราฟของฟังก์ชันที่กำหนดให้ต่อไปนี้

                

วิธีทำ

                  

ตัวอย่าง  3          จงเขียนกราฟของฟังก์ชันที่กำหนดให้ต่อไปนี้บนระนาบเดียวกัน

           

วิธีทำ

           1)          

                 

          2)            

                       

ตัวอย่าง  4                  จงเขียนกราฟของฟังก์ชันที่กำหนดให้ต่อไปนี้  พร้อมทั้งบอกจุดที่กราฟวกกลับ

                 

วิธีทำ                     

       1)           

       2)              

3)                      

ตัวอย่าง  5                   จงเขียนกราฟของฟังก์ชันที่กำหนดให้ต่อไปนี้  พร้อมทั้งบอกจุดที่กราฟวกกลับ

                          

วิธีทำ

             1)                   

           2)                     

        3)                 

        4)                   

                               ในกรณีทั่วไป  กราฟของ   จะมีจุดที่กราฟวกกลับดังนี้

1)                                                     

                     จากรูปกราฟของ  f  มีจุดวกกลับที่จุด  (h,k)  ซึ่งเป็นจุดที่  f(x)  มีค่าต่ำสุด  และ  f(h)  =  k  เป็นค่าต่ำสุดของ  f

2)                                                                     

                    จากรูป            กราฟของ  f  มีจุดวกกลับที่จุด  (h,k)  ซึ่งเป็นจุดที่  f(x)  มีค่าสูงสุด  และ  f(h)  =  k  เป็นค่าสูงสุดของ  f 

                                         

                    กราฟของฟังก์ชันกำลังสองมีเส้นตรง  x  =  h  เป็นเส้นสมมาตร  

ตัวอย่าง  6                     จงหาจุดสูงสุดหรือต่ำสุดของฟังก์ชันต่อไปนี้

                   

วิธีทำ     1)         

                                     

           

                                            

                           

ตัวอย่าง  7                   จงหาจุดวกกลับของกราฟของฟังก์ชันต่อไปนี้พร้อมทั้งเขียนกราฟ