คณิตศาสตร์: กุมภาพันธ์ 2014

คู่อันดับ (Order Pair) เป็นการจับคู่สิ่งของโดยถือลำดับเป็นสำคัญ เช่น คู่ อันดับ a, b จะเขียนแทนด้วย (a, b) เรียก a ว่าเป็นสมาชิกตัวหน้า และเรียก b ว่าเป็นสมาชิกตัวหลัง

(การเท่ากับของคู่อันดับ) (a, b) = (c, d) ก็ต่อเมื่อ a = c และ b = d

ผลคูณคาร์ทีเชียน (Cartesian Product) ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และเซต B คือ เซตของคู่อันดับ (a, b) ทั้งหมด โดยที่ a เป็นสมาชิกของเซต A และ b เป็นสมาชิกของเซต B

สัญลักษณ์ ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และเซต B เขียนแทนด้วย A x B
หรือ เขียนในรูปเซตแบบบอกเงื่อนไขจะได้ว่า

ความสัมพันธ์ (Relation)r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ r เป็นสับเซตของ A x B

โดเมน (Domain) และ เรนจ์ (พิสัย) (Range)

โดเมน (Domain) ของความสัมพันธ์ r คือ เซตที่มีสมาชิกตัวหน้าของทุกคู่อันดับในความสัมพันธ์ r ใช้สัญลักษณ์แทนด้วย D_r ดังนั้น D_r = {x | (x, y) ε r}
เรนจ์ (Range) ของความสัมพันธ์ r คือ เซตที่มีสมาชิกตัวหลังของทุกคู่อันดับในความสัมพันธ์ r ใช้สัญลักษณ์แทนด้วย R _rดังนั้น R_r = {y | (x, y) ε r}

สัญลักษณ์ อินเวอร์สของความสัมพันธ์ r เขียนแทนด้วย r^-1
เขียน r^-1 ในรูปเซตแบบบอกเงื่อนไขได้ดังนี้ r^-1 = {(x, y) | (y, x) ε r}
ถ้า r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B แล้ว r^-1 จะเป็นความสัมพันธ์จาก B ไป A

ฟังก์ชัน (Function) คือ ความสัมพันธ์ ซึ่งในสองคู่อันดับใด ๆ ของความสัมพันธ์นั้น ถ้ามีสมาชิกตัวหน้าเท่ากันแล้ว สมาชิกตัวหลังต้องไม่แตกต่างกัน
หรือฟังก์ชัน คือ ความสัมพันธ์ ซึ่งในสองคู่อันดับใด ๆ ของความสัมพันธ์นั้น ถ้าสมาชิกตัวหน้าเท่ากัน สมาชิกตัวหลังต้องเท่ากันด้วย

นั่นคือ ความสัมพันธ์ f จะเป็นฟังก์ชัน ก็ต่อเมื่อ ถ้า (x, y₁) ε f และ (x, y₂) ε f แล้ว y₁ = y₂

ถ้าหากว่าความสัมพันธ์ที่กำหนดให้อยู่ในรูปแบบบอกเงื่อนไข การตรวจสอบว่าความสัมพันธ์นั้นเป็นฟังก์ชันหรือไม่สามารถทำได้กลายวิธี ดังต่อไปนี้

วิธีที่ 1 ถ้า r เป็นความสัมพันธ์ซึ่งประกอบด้วยคู่อันดับ (x, y) และมีเงื่อนไข r(x, y) แล้ว ให้นำเงื่อนไข r(x, y) มาเขียนใหม่โดยเขียน y ในรูปของ x และพิจารณาดังนี้
1) ถ้าแต่ละค่าของ x หาค่า y ได้เพียงค่าเดียว สรุปว่า r เป็นฟังก์ชัน
2) ถ้ามีบางค่าของ x ที่ทำให้หาค่า y ได้มากกว่าหนึ่งค่า สรุปว่า r ไม่เป็นฟังก์ชัน

วิธีที่  2      เมื่อกำหนดความสัมพันธ์ r ซึ่งประกอบด้วยคู่อันดับ (x, y) และมีเงื่อนไข  r(x, y)
สมมติให้ (x, y) ε r และ (x, z) ε r ดังนั้นจะได้เงื่อนไข  r(x, y) และ r(x, z) พิจารณา
1) ถ้าสามารถแสดงได้ว่า  y = z จะได้ว่า r เป็นฟังก์ชัน
2) ถ้ากรณีที่มี  y ε z จะได้ว่า  r ไม่เป็นฟังก์ชัน

วิธีที่ 3 โดยใช้กราฟ
กำหนดกราฟความสัมพันธ์ r ให้ลากเส้นตรงที่ขนานกับแกน Y และให้ตัดกราฟของความสัมพันธ์ rพิจารณา
1) ถ้าเส้นตรงแต่ละเส้นตัดกราฟของ r ได้เพียงจุดเดียวเท่านั้น จะได้ว่า r เป็นฟังก์ชัน
2) ถ้ามีเส้นตรงบางเส้นตัดกราฟของ r มากกว่าหนึ่งจุด จะได้ว่า r จะไม่เป็นฟังก์ชัน

กำหนดให้ f เป็นฟังก์ชัน เรามีข้อตกลงเกี่ยวกับการเขียนสัญลักษณ์ ดังนี้

(x, y) ε R จะเขียนแทนด้วย y = f(x)

เรียก f(x) ว่าค่าของฟังก์ชัน f ที่ x หรือเรียกว่าภาพฉาย (image) ของ x ภายใต้ฟังก์ชัน f

อ่าน f(x) ว่า เอฟของเอ็กซ์ หรือ เอฟที่เอ็กซ์ หรือเรียกสั้นๆ ว่า เอฟเอ็กซ์

เราจะพบการใช้สัญลักษณ์เกี่ยวกับฟังก์ชันอยู่ 2 ลักษณะที่สำคัญคือ การเขียน f และ f(x) ซึ่งมีความแตกต่างและการนำไปใช้ดังนี้

1) การเขียน f จะเป็นการกำหนดชื่อฟังก์ชัน (คล้ายการกำหนดชื่อเซต) เช่น กำหนดให้ f เป็นฟังก์ชัน เป็นต้น การเขียน f จะเขียนในรูปเซตแบบแจกแจงสมาชิก หรือว่าเซตแบบบอกเงื่อนไขก็ได้ เช่น f = {(2, 5), (3, 7), (4, 9)} หรือ f = {(x, y) | y = 2x + 1} เป็นต้น

2) การเขียน f(x) จะเป็นการนิยามฟังก์ชัน f ว่ามีเงื่อนไข หรือลักษณะอย่างไร กำหนดให้เป็นอย่างไร มักเขียนในรูปนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ (ประโยคสัญลักษณ์) แสดงความสัมพันธ์ตั้งแต่ 2 ตัวแปรขึ้นไป และมักเขียนในรูปสมการ เช่น f(x) = 2x + 1 หรือบางครั้งอาจเขียน y = 2x + 1 ให้เข้ใจว่า การนิยามฟังก์ชัน f จะเขียนให้อยู่ในรูป y = f(x)

ดังนั้น นักรเยนจะพบเสมอว่า ในโจทย์ปัญหาเกี่ยวกับฟังก์ชันโดยทั่วไป มักจะขึ้นต้นในทำนองว่า “กำหนดให้ f เป็นฟังก์ชันซึ่งนิยามว่า f(x) = …” เป็นต้น

ดังนี้แล้ว พึงระลึกถึงและนำไปใช้ให้ถูกต้องด้วยความเคร่งครัดและระมัดระวัง

พีชคณิตของฟังก์ชัน หรือ การดำเนินการของฟังก์ชัน (Algebric Function or Operation of Function)

ฟังก์ชันประกอบ หรือ ฟังก์ชันคอมโพสิต (Composite Function)

ตัวผกผันของฟังก์ชัน หรือ ฟังก์ชันอินเวอร์ส (Inverse of Function)

ฟังก์ชันจากเซตหนึ่งไปยังอีกเซตหนึ่ง

กำหนดให้ A และ B เป็นเซต
f จะเป็นฟังก์ชันจาก A ไป B (function from A to B) ก็ต่อเมื่อ
1)    f เป็นฟังก์ชัน
2)    D_f = A
3)    R_f ε B

สัญลักษณ์ f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B จะเขียนแทนด้วย f : A → B อ่านว่า f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B

ฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B

f จะเป็นฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B (function from A onto B) ก็เต่อเมื่อ
1)    f เป็นฟังก์ชัน
2)    D_f = A
3)    R_f = B

ฟังก์ชันเชิงเส้น คือ ฟังก์ชันที่อยู่ในรูป y = ax+b เมื่อ a ,b เป็นจำนวนจริง และ

กราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นจะเป็นเส้นตรง

ตัวอย่างของฟังก์ชันเชิงเส้น ได้แก่

1) y = x

2) y =2x +1

3) y = -3x

ฟังก์ชัน y = ax + b เมื่อ a = 0 จะได้ฟังก์ชันที่อยู่ในรูป y = b ซึ่งมีชื่อเรียกว่า ฟังก์ชันคงตัว (constant function) กราฟของฟังก์ชันคงตัวจะเป็นเส้นตรงที่ขนานกับแกน X ตัวอย่างของฟังก์ชันคงตัว ได้แก่

ตัวอย่าง 1 จงเขียนกราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นต่อไปนี้บนระนาบเดียวกัน

วิธีทำ

จากกราฟข้างต้นจะเห็นว่า เมื่อสัมประสิทธิ์ของ x หรือ a มีค่ามากขึ้น กราฟจะเบนเข้าหาแกน Y

จากกราฟข้างต้นจะเห็นว่า เมื่อสัมประสิทธิ์ของ x หรือ a มีค่าน้อยขึ้น กราฟจะเบนเข้าหาแกน X

จากกราฟข้างต้นจะเห็นว่า กราฟของ

มีแกน Y และ แกน X เป็นแกนสมมาตร

ตัวอย่าง 2 จงเขียนกราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นต่อไปนี้บนระนาบเดียวกัน

วิธีทำ

จากรูป จะเห็นว่า กราฟของ y = x + c เมื่อ c =0,1,2,4 ตัดแกน Y ที่ y =0,2,4 หรือที่จุด (0,0), (0,2) และ (0,4) และตัดแกน X ที่ 0, -2, -4 หรือที่จุด (0,0), (-2,0) และ (-4,0)

จากรูปจะเห็นว่ากราฟของ y = x + c เมื่อ c = 0, -1, -3 จะตัดแกน Y ที่ y = 0,-1และ -3 หรือที่จุด (0,0), (0,-1) และ (0,-3) และตัดแกน X ที่ x = 0, 1, 3 หรือที่จุด (0,0),(1,0) และ (3,0)

ตัวอย่าง 3 จงเขียนกราฟของฟังก์ชันที่กำหนดให้ต่อไปนี้ พร้อมทั้งหาจุดที่กราฟตัดแกน X

1) y = x + 3

2) y = 7 - x

วิธีทำ 1) y = x + 3

จุดที่กราฟตัดแกน X คือจุดที่ y มีค่าเท่ากับศูนย์ จากรูป จุดที่กราฟตัดแกน X คือจุด (-3,0)

2) y = 7 - x

จุดที่กราฟตัดแกน X คือจุดที่ y มีค่าเท่ากับศูนย์ จากรูป จุดที่กราฟตัดแกน X คือจุด (7,0)

ตัวอย่าง 4 จงเขียนกราฟของ y = 2x + 9 และหาว่า จุด (-1,6) อยู่บนกราฟของ y หรือไม่

วิธีทำ จาก y = 2x + 9 หาจุดที่กราฟตัดแกน X และ Y และเขียนกราฟของ Y ได้ดังนี้

หาว่าจุด (-1,6) อยู่บนกราฟหรือไม่ ได้ดังนี้

จาก y = 2x + 9

หาค่า y เมื่อ x = -1

จะได้ y = 2(-1) + 9 = 7

นั่นคือ เมื่อ x = -1 จะได้ y = 7

แสดงว่า จุด (-1,7) อยู่บนกราฟของ y แต่จุด (-1,6) ไม่อยู่บนกราฟของ y

ตัวอย่าง 5 พนักงานขายผู้หนึ่งได้รับเงินเดือนจากบริษัทเดือนละ 12,000 บาท และได้รับเงินอีก 5% ของยอดขายสินค้าที่เขาขายได้

1) จงเขียนความสัมพันธ์ของรายได้ของพนักงานผู้นี้กับยอดขายสินค้าพร้อมทั้งเขียนกราฟของความสัมพันธ์ดังกล่าว

2) จงหาว่าในเดือนที่เขามียอดขาย 25,000 บาท เขาจะได้รับเงินเดือนนั้นเท่าใด

วิธีทำ

1) ให้ s แทนยอดขายสินค้า

f(s) แทนจำนวนเงินที่ได้รับจากบริษัท

จะได้ f(s) = 12,000 + (0.05)s

2) ถ้ายอดขายของพนักงานผู้นี้เท่ากับ 25,000 บาท เขาจะได้รับเงินเท่ากับ

f(25,000) = 12,000 + (0.05)25,000

= 13,250 บาท

หมายเหตุ เราสามารถใช้กราฟหาค่าประมาณของฟังก์ชันได้ เช่น จากตัวอย่างที่กล่าวมาถ้าลากเส้นกราฟต่อให้ยาวขึ้น เราสามารถประมาณจำนวนเงินที่พนักงานขายจะได้รับเมื่อเขามียอดขายเท่ากับ 80,000 บาท ได้ดังนี้